নবম-দশম শ্রেণীর গণিত
১৩.১ অনুশীলনী – সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন ২৪:
কোনো সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, \(l\) তম পদ \(l^{2}\) এবং \(k\) তম পদ \(k^{2}\)।
ক. ধারাটির প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অন্তর \(d\) ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।
খ. \((l+k)\) তম পদ নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর যে, ধারাটির প্রথম \((l+k)\) সংখ্যক পদের সমষ্টি \(\frac{l+k}{2}(l^{2}+k^{2}+l+k)\)।
কোনো সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, \(l\) তম পদ \(l^{2}\) এবং \(k\) তম পদ \(k^{2}\)।
ক. ধারাটির প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অন্তর \(d\) ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।
খ. \((l+k)\) তম পদ নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর যে, ধারাটির প্রথম \((l+k)\) সংখ্যক পদের সমষ্টি \(\frac{l+k}{2}(l^{2}+k^{2}+l+k)\)।
সমাধান
ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ \(=a\) এবং সাধারণ অন্তর \(=d\)।
\(\therefore\) ধারাটির \(l\) তম পদ \(=a+(l-1)d\) এবং \(k\) তম পদ \(=a+(k-1)d\)।
\(\therefore\) ধারাটির \(l\) তম পদ \(=a+(l-1)d\) এবং \(k\) তম পদ \(=a+(k-1)d\)।
শর্তমতে,
\[ a+(l-1)d=l^{2} \quad \text{...........(1)} \] \[ a+(k-1)d=k^{2} \quad \text{...........(2)} \]
\[ a+(l-1)d=l^{2} \quad \text{...........(1)} \] \[ a+(k-1)d=k^{2} \quad \text{...........(2)} \]
(1) নং হতে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
\[
a+(l-1)d-a-(k-1)d=l^{2}-k^{2}
\]
\[
(l-k)d=(l+k)(l-k)
\]
\[
\therefore d=l+k \quad \text{...........(3)}
\]
খ. \((l+k)\) তম পদ:
\[ a+(l+k-1)d \] \[ = a+(l-1)d+kd \] \[ = l^{2}+k(l+k) \] \[ = l^{2}+lk+k^{2} \] অতএব, নির্ণেয় \((l+k)\) তম পদ \(=l^{2}+lk+k^{2}\)।
\[ a+(l+k-1)d \] \[ = a+(l-1)d+kd \] \[ = l^{2}+k(l+k) \] \[ = l^{2}+lk+k^{2} \] অতএব, নির্ণেয় \((l+k)\) তম পদ \(=l^{2}+lk+k^{2}\)।
গ. প্রথম \((l+k)\) সংখ্যক পদের সমষ্টি:
\[ S_{l+k}=\frac{l+k}{2}\{2a+(l+k-1)d\} \] \[ =\frac{l+k}{2}\{a+(l-1)d+a+(k-1)d+d\} \] \[ =\frac{l+k}{2}(l^{2}+k^{2}+l+k) \]
\[ S_{l+k}=\frac{l+k}{2}\{2a+(l+k-1)d\} \] \[ =\frac{l+k}{2}\{a+(l-1)d+a+(k-1)d+d\} \] \[ =\frac{l+k}{2}(l^{2}+k^{2}+l+k) \]
\(\therefore\) ধারাটির প্রথম \((l+k)\) সংখ্যক পদের সমষ্টি
\(\frac{l+k}{2}(l^{2}+k^{2}+l+k)\) । (প্রমাণিত)
১৩.২ অনুশীলনী
সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন ২৩:
একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অনুপাত \(r\), ধারাটির চতুর্থ পদ \(-2\) এবং নবম পদ \(8\sqrt{2}\)।
ক. উপরোক্ত তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
খ. ধারাটির ১২ তম পদ নির্ণয় কর।
গ. ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম ৯টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ \(a\), সাধারণ অনুপাত \(r\), ধারাটির চতুর্থ পদ \(-2\) এবং নবম পদ \(8\sqrt{2}\)।
ক. উপরোক্ত তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
খ. ধারাটির ১২ তম পদ নির্ণয় কর।
গ. ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম ৯টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধান:
ক. যেহেতু, গুণোত্তর ধারার \(n\) তম পদ \(=ar^{n-1}\),
\[ ar^{4-1}=-2 \Rightarrow ar^{3}=-2 \quad \text{...........(i)} \] \[ ar^{9-1}=8\sqrt{2} \Rightarrow ar^{8}=8\sqrt{2} \quad \text{...........(ii)} \]
খ. (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই, \[ \frac{ar^{8}}{ar^{3}}=\frac{8\sqrt{2}}{-2} \] \[ r^{5}=-\left(\sqrt{2}\right)^{5}=(-\sqrt{2})^{5} \Rightarrow r=-\sqrt{2} \] এবার, (i) তে \(r=-\sqrt{2}\) বসিয়ে, \[ a(-\sqrt{2})^{3}=-2 \Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}} \] অতএব, ১২ তম পদ, \[ a_{12}=ar^{11}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\sqrt{2})^{11}=-32 \] \[ \therefore \text{১২ তম পদ } = -32 \]
গ. এখানে, \(a=\frac{1}{\sqrt{2}},\; r=-\sqrt{2}\)
ধারা: \(\frac{1}{\sqrt{2}},-1,\sqrt{2},-2,\dots\) আমরা জানি, \[ S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \] সুতরাং, \[ S_9=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\{1-(-\sqrt{2})^{9}\}}{1+\sqrt{2}} =\frac{1+8\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})} =\frac{15\sqrt{2}-14}{2} \] \[ \therefore \text{প্রথম ৯টি পদের সমষ্টি }=\frac{1}{2}(15\sqrt{2}-14) \]
ক. যেহেতু, গুণোত্তর ধারার \(n\) তম পদ \(=ar^{n-1}\),
\[ ar^{4-1}=-2 \Rightarrow ar^{3}=-2 \quad \text{...........(i)} \] \[ ar^{9-1}=8\sqrt{2} \Rightarrow ar^{8}=8\sqrt{2} \quad \text{...........(ii)} \]
খ. (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই, \[ \frac{ar^{8}}{ar^{3}}=\frac{8\sqrt{2}}{-2} \] \[ r^{5}=-\left(\sqrt{2}\right)^{5}=(-\sqrt{2})^{5} \Rightarrow r=-\sqrt{2} \] এবার, (i) তে \(r=-\sqrt{2}\) বসিয়ে, \[ a(-\sqrt{2})^{3}=-2 \Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}} \] অতএব, ১২ তম পদ, \[ a_{12}=ar^{11}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\sqrt{2})^{11}=-32 \] \[ \therefore \text{১২ তম পদ } = -32 \]
গ. এখানে, \(a=\frac{1}{\sqrt{2}},\; r=-\sqrt{2}\)
ধারা: \(\frac{1}{\sqrt{2}},-1,\sqrt{2},-2,\dots\) আমরা জানি, \[ S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} \] সুতরাং, \[ S_9=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\{1-(-\sqrt{2})^{9}\}}{1+\sqrt{2}} =\frac{1+8\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})} =\frac{15\sqrt{2}-14}{2} \] \[ \therefore \text{প্রথম ৯টি পদের সমষ্টি }=\frac{1}{2}(15\sqrt{2}-14) \]
প্রশ্ন ২৪:
কোন ধারার \(n\) তম পদ \(2n-4\)।
ক. ধারাটি নির্ণয় কর।
খ. ধারাটির 10-তম পদ এবং প্রথম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
গ. প্রাপ্ত ধারাটির প্রথম পদকে প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে নতুন ধারা তৈরি করে প্রথম ৪টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
কোন ধারার \(n\) তম পদ \(2n-4\)।
ক. ধারাটি নির্ণয় কর।
খ. ধারাটির 10-তম পদ এবং প্রথম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
গ. প্রাপ্ত ধারাটির প্রথম পদকে প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে নতুন ধারা তৈরি করে প্রথম ৪টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a_n=2n-4\)।
\[ a_1=-2,\; a_2=0,\; a_3=2,\; a_4=4 \] ধারা: \(-2,0,2,4,\dots\)
খ. 10 তম পদ, \[ a_{10}=2\times10-4=16 \] এখানে, \(a=-2,\; d=2\)
\[ S_{20}=\frac{20}{2}\{2(-2)+(20-1)2\} =10(-4+38)=340 \] \[ \therefore \text{প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি }=340 \]
গ. নতুন গুণোত্তর ধারা: \(a=-2,\; r=2\)
ধারা: \(-2,-4,-8,-16,\dots\) \[ S_8=\frac{a(r^{8}-1)}{r-1} =\frac{-2(256-1)}{1}=-510 \] \[ \therefore \text{প্রথম ৪টি পদের সমষ্টি }=-510 \]
দেওয়া আছে, \(a_n=2n-4\)।
\[ a_1=-2,\; a_2=0,\; a_3=2,\; a_4=4 \] ধারা: \(-2,0,2,4,\dots\)
খ. 10 তম পদ, \[ a_{10}=2\times10-4=16 \] এখানে, \(a=-2,\; d=2\)
\[ S_{20}=\frac{20}{2}\{2(-2)+(20-1)2\} =10(-4+38)=340 \] \[ \therefore \text{প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি }=340 \]
গ. নতুন গুণোত্তর ধারা: \(a=-2,\; r=2\)
ধারা: \(-2,-4,-8,-16,\dots\) \[ S_8=\frac{a(r^{8}-1)}{r-1} =\frac{-2(256-1)}{1}=-510 \] \[ \therefore \text{প্রথম ৪টি পদের সমষ্টি }=-510 \]
Post a Comment